Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（2，0），B（﹣4，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若不存，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（2，0），B（﹣4，0）代入得：

，

解得： ，

則該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+8

（2）

解：如圖1，點A關于拋物線對稱軸的對稱點為點B，設直線BC的解析式為：

y=kx+d，

將點B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：

，

解得： ，

故直線BC解析式為：y=2x+8，

直線BC與拋物線對稱軸 x=﹣1的交點為Q，此時△QAC的周長最小．

解方程組 得，

則點Q（﹣1，6）即為所求

（3）

解：如圖2，過點P作PE⊥x軸于點E，

P點（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0）

∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣16

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC

= BEPE+ OE（PE+OC）

= （x+4）（﹣x2﹣2x+8）+ （﹣x）（﹣x2﹣2x+8+8）

=﹣2（x+2）2+24，

當x=﹣2時，S四邊形BPCO最大值=24，

∴S△BPC最大=24﹣16=8，

當x=﹣2時，﹣x2﹣2x+8=8，

∴點P的坐標為（﹣2，8）．

【解析】（1）直接利用待定系數求出二次函數解析式即可；（2）首先求出直線BC的解析式，再利用軸對稱求最短路線的方法得出答案；（3）根據S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣16，得出函數最值，進而求出P點坐標即可．