Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+4x+c經過A（2，0）、B（0，﹣6）兩點，其對稱軸與x軸交于點C．

（1）求該拋物線和直線BC的解析式；

（2）設拋物線與直線BC相交于點D，求△ABD的面積；

（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAB的周長最小？若存在，求出Q點的坐標及△QAB最小周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣6，y＝x﹣6；（2）；（3）存在點Q的坐標（4，﹣2）時，使得△QAB的周長最小．

【解析】

（1）將點A、點B的坐標代入可得出拋物線的解析式，從而得出點C的坐標，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式；

（2）求出點D的坐標，然后根據S△ABD＝S△ACD＋S△ABC進行計算，即可得出答案；

（3）AB長度固定，只需滿足QA＋QB最小即可，找點A關于對稱軸的對稱點A'，連接A'B，則A'B與對稱軸的交點即是點Q的位置，求出直線A'B的解析式，即可解決問題．

解：（1）將A（2，0）、B（0，﹣6）代入拋物線解析式得：，

解得：，

故拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣6，

其對稱軸為：x＝4，

故點C的坐標為（4，0），

設直線BC的解析式為y＝kx+b，將點B、點C的坐標代入可得：，

解得：，

故直線BC的解析式為y＝x﹣6；

（2）聯立直線BC與拋物線的解析式得：，

解得：或，

故點D的坐標為（5，），

則S△ABD＝S△ACD+S△ABC＝；

（3）點A關于拋物線對稱軸的對稱點為A'，連接A'B，則A'B與對稱軸的交點即是點Q的位置：

由題意得：A'坐標為（6，0），B（0，﹣6），

設直線A'B的解析式為：y＝mx+n，代入兩點坐標可得：，

解得：，

即直線A'B的解析式為y＝x﹣6，

當x=4時，y＝4﹣6＝－2，

故點Q的坐標為（4，﹣2）．

即存在點Q的坐標（4，﹣2）時，使得△QAB的周長最小．