Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，過O作EF⊥AC，交AD于E，交BC于F，連接AF、CE．
（1）求證：四邊形AECF是菱形
（2）若AB=3，BC=4，則菱形AECF的周長？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

∵EF⊥AC，

∴∠AOE=∠COF=90°，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO，

∴OE=OF，

∵AO=CO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，BC=AD=4，

AE=CE=x，則DE=4﹣x，在直角三角形EDC中由勾股定理可得：CE2=DE2+CD2，

即a2=（4﹣a）2+32，

解得：a= ，

∴菱形AECF的周長=4× =12.5

【解析】（1）利用已知條件和矩形的性質易證△AEO≌△CFO，進而可得四邊形AECF是平行四邊形，又因為EF⊥AC，所以可證明四邊形AECF是菱形（2）設AE=CE=x，則DE=4﹣x，在直角三角形EDC中，利用勾股定理可求出x的值，進而可求出菱形的周長．
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．