Question

已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．
(1)如圖①，當PA的長度等于    時，∠PAB＝60°；當PA的長度等于     時，△PAD是等腰三角形；
(2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（點A即為原點O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S₁、S₂、S₃．坐標為（a，b），試求2 S₁ S₃－S₂²的最大值，并求出此時a，b的值．

Answer 1

（1）2，或；（2）當a=2時，b=2，2S₁S₃－S₂²有最大值是16.

試題分析：（1）因為由是直徑，可得∠APB=90°，要使∠PAB=60,即要∠PBA="30" ，即PA=PB=2，當PA=PD、PD=DA時，△PAD是等腰三角形，作輔助線DOAP交PA于G，然后由正方形的性質、勾股定理易知△PAD△DGA，從而用對應邊的相似比可得.
（2）要求2S₁ S₃－S₂²的最大值，只要先把S₁、S₂、S₃用a，b表示，再根據得到關系式，從而利用二次函數最大值概念求得.
試題解析：（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
則在Rt△PAB中，PA=AB=2，
∴當PA的長度等于2時，∠PAB=60°；
①若△PAD是等腰三角形，當PA=PD時，如圖1，

此時P位于正方形ABCD的中心O．
則PD⊥PA，PD=PA，
∴AD²=PD²+PA²=2PA²=16，
∴PA=2
②當PD=DA時，以點D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點為點P．如圖2
連PD，令AB中點為O，再連DO，PO，DO交AP于點G，則△ADO≌△PDO，

∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
設AG為2x，OG為x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=
∴AG=2x=，AP=
∴當PA的長度等于2或時，△PAD是等腰三角形.
（2）如圖，過點P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E、F，延長EP交BC于點G，則PG⊥BC.

∵P點坐標為（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4-a
在△PAD、△PAB和△PBC中，

∵AB為直徑
∴∠APB=90°
∴，即
∴
∴當a=2時，b=2，2S₁S₃－S₂²有最大值是16.
考點: 圓的綜合題．