Question

如圖，在直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

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．
（1）求這個二次函數的表達式．
（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
將A、B、C三點的坐標代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3；
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
設該表達式為：y=a（x+1）（x-3），
將C點的坐標代入得：a=1，
所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3；

（2）如圖，在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴頂點D（1，-4）．
容易求得直線CD的表達式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，此時F（2，-3）．