Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，∠ABC=90°，點M是AC的中點，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點D，E．

（1）求證：MD=ME；

（2）填空：連接OE，OD，當∠A的度數為 時，四邊形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】(1)證明過程見解析；(2)60°.

【解析】

試題分析：(1)、利用直角三角形斜邊上的中線性質得MA=MB，則∠A=∠MBA，再利用圓內接四邊形的性質證明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；(2)、先證明△OAD和△OBE為等邊三角形，再證明四邊形DOEM為平行四邊形，然后加上OD=OE可判斷四邊形ODME是菱形．

試題解析：(1)、在Rt△ABC中，點M是AC的中點， ∴MA=MB， ∴∠A=∠MBA；

∵四邊形ABED是圓內接四邊形， ∴∠ADE+∠ABE=180°， 而∠ADE+∠MDE=180°，

∴∠MDE=∠MBA； 同理可得∠MED=∠A， ∴∠MDE=∠MED， ∴MD=ME；

(2)、當∠A=60°時， 則∠ABM=60°， ∴△OAD和△OBE為等邊三角形， ∴∠BOE=60°，

∴∠BOE=∠A， ∴OE∥AC， 同理可得OD∥BM， ∴四邊形DOEM為平行四邊形，

而OD=OE， ∴四邊形ODME是菱形．