Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．

(1)求證：四邊形OCED是菱形．

(2)當∠ACB=30°，菱形OCED的面積為，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=4．

【解析】

（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據矩形的性質，易得OC=OD，即可判定四邊形OCED是菱形．

（2）因為∠ACB=30°可證明菱形的一條對角線和邊長相等，可證明和對角線構成等邊三角形，然后作輔助線，根據菱形的面積已知可求解．

（1）解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四邊形CODE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，

∴OD=OC，

∴四邊形OCED是菱形；

（2）解：∵∠ACB=30°，

∴∠DCO=90°-30°=60°．

又∵OD=OC，

∴△OCD是等邊三角形．

過D作DF⊥OC于F，則CF=OC，設CF=x，則OC=2x，AC=4x．

在Rt△DFC中，tan60°=，

∴DF=x．

∴OCDF=2．

∴x=1．

∴AC=1×4=4．