Question

正方形ABCD，EFGH邊長分別是和，它們的中心O，D在直線l上，AD∥l，EG在直線l上l與DC相交于點M，ME=7-2，當正方形EFGH沿直線l以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形ABCD也繞Q₁以每秒45°順時針方向開始旋轉，在運動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變．
（1）求開始運動前Q₁Q₂的長度；
（2）當兩個正方形按照各自的運動方式同時運動3秒時，正方形ABCD停止旋轉，求此時AE和Q₁Q₂的長度；
（3）兩個正方形經歷（2）的運動后，正方形ABCD停止旋轉，正方形EFGH繼續向左平移的時間為x秒，兩正方形重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數表達式．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD與正方形EFGH邊長分別是4和2，它們的中心O，
∴O₁M=AD=×4=2，EG=EH=4，
∴EO₂=EG=2，
∵ME=7-2，
∴Q₁Q₂=O₁M+ME+EO₂=2+7-2+2=9；

（2）∵正方形EFGH沿直線l以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形ABCD也繞Q₁以每秒45°順時針方向開始旋轉，
∴當兩個正方形按照各自的運動方式同時運動3秒時，如圖：
∴Q₁Q₂=9-3=6，
∵AC=AD=8，
∵O₁A=AC=×8=4，
∴AE=Q₁Q₂-O₁A-O₂E=6-4-2=0；

（3）當正方形ABCD停止運動后，正方形EFGH繼續向左平移時，與正方形ABCD重疊部分的形狀也是正方形．
重疊部分的面積y與x之間的函數關系應分四種情況：
①如圖1，當0≤x＜4時，
∵EA=x，
∴y與x之間的函數關系式為y=．
②如圖2，當4≤x＜8時，y與x之間的函數關系式為y=（2 ）²=8．

③如圖3，當8≤x＜12時，
∵CG=12-x，
∴y與x之間的函數關系式為y==x²-12x+72．
④當x≥12時，y與x之間的函數關系式為y=0．
分析：（1）開始運動前Q₁O₂=O₁M+ME+O₂E，O₁M=AD=2 ，O₂E=EH=2，即可求得O₁O₂的值．
（2）當運動3秒后，A在直線l上，O₁A=AD=4，O₁E=7-3=4，因此O₁E=O₁A，A、E重合，即AE=0．O₁O₂=O₁A+O₂E=4+2=6．
（3）本題要分四種情況：
①當0≤x＜4時，圖1，重合的小正方形對角線AE=x，因此y=x²．
②當4≤x＜8時，圖2，正方形EFGH在正方形ABCD內部，重合部分的面積就是正方形EFGH的面積．
③當8≤x＜12時，圖3，參照①的解法．
④當x≥12時，此時兩正方形不重合，因此y=0．
點評：本題為運動性問題，考查了正方形的性質、圖形的旋轉、二次函數的應用等知識．綜合性強，難度較大，解題的關鍵是注意分類討論思想與數形結合的數學思想的應用．