Question

（2012•臺州模擬）閱讀理解：如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點P在BC邊上，當∠APD=90°時，易證△ABP∽△PCD，從而得到BP•PC=AB•CD，解答下列問題．
（1）模型探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時，結論BP•PC=AB•CD仍成立嗎？試說明理由；
（2）拓展應用：如圖3，M為AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME=∠A=∠B=45°且DM交AC于F，ME交BC于G．AB=4

2

，AF=3，求FG的長．

Answer 1

分析：（1）通過相似三角形△ABP∽△PCD的對應邊成比例來證得BP•PC=AB•CD；
（2）利用相似三角形△AMF∽△BGM的對應角相等、三角形內角和定理證得AC⊥BC且AC=BC；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=BC=4；最后利用相似三角形△AMF∽△BGM的對應邊成比例以及在直角△FCG中利用勾股定理來求FG的長度．

解答：解：（1）∵∠APC=∠APD+∠CPD，∠APC=∠BAP+∠B（三角形外角定理），∠B=∠APD（已知），
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD
∴

BP

CD

=

AB

PC

，
∴BP•PC=AB•CD；

（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），
∴∠AFM=∠A+∠E（等量代換），
又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），
∴∠AFM=∠BMG．
∵∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM．
當∠A=∠B=45°時，∠ACB=180°-∠A-∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．
∵M為AB的中點，∴AM=BM=2

2

，AC=BC=4．
又∵△AMF∽△BGM，
∴

AF

AM

=

BM

BG

，
∴BG=

AM•BM

AF

=

2 2 ×2 2

3

=

8

3

，
又∵CG=4-

8

3

=

4

3

，CF=4-3=1，
∴FG=

CF2+CG2

=

12+( 4 3 )2

=

5

3

．

點評：本題考查了相似綜合題．此題綜合運用了相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角形內角和定理以及三角形外角定理．