Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于 兩點，與軸交于點，連接，已知，且拋物線經過點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點是拋物線上位于軸下方的一點，且，求的坐標；

（3）若點是軸上一點，以三點為頂點的三角形是等腰三角形，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），，，

【解析】

（1）將點B，D的坐標分別代入拋物線的解析式，建立關于a，c的方程組，解方程組求出a，c的值，就可得到拋物線的解析式.（2）由y=0，求出對應的x的值，即可得到點A的坐標，從而可求出AB的長，再由x=0求出對應的y的值，可得到點C的坐標，然后利用三角形的面積公式求出△ABC的面積，利用待定系數法求出直線AC的函數解析式，過點E作x軸的垂線交lAC于點F，利用函數解析式設點F，E的坐標，利用已知條件建立關于a的方程，解方程求出a的值，即可得到符合題意的點E的坐標.（3）利用等腰三角形的判定，分情況討論：當點A為等腰△PAC的頂點時，AC=AP；當點C為等腰△PAC的頂點時，CA=CP；當點P為等腰△PAC的頂點時，CA=CP， 分別求出符合題意的點P的坐標.

（1）將點，點代入 ，

可得，解得 ，

拋物線解析式： ；

（2）當時， ，

解方程，得 ，

，

，

當時， ，

，

，

設，將點代入 ，

得，解得 ，

，

如圖1，過點作軸的垂線交于點 ，

設點，點，其中 ，

，

由 ，

可得或 ，

解得：（舍）， ，

；

（3）情形一：當點為等腰的頂點時，，如圖2，

，

，

點 ；

情形二：當點為等腰的頂點時，,如圖3，

，

；

情形三：當點為等腰的頂點時，，如圖4，

過線段的中點作垂線交軸于點，

由中點坐標公式可得 ，

，

，

又 ，

，

，

當時， ，

；

綜上所述：，，，.