Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弧AB＝弧AC，AP是⊙O的切線，交BO的延長線于點P

(1) 求證：AP∥BC

(2) 若tan∠P＝，求tan∠PAC的值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】分析：（1）作AH⊥BC于H，如圖，利用弧、弦、圓周角之間的關系由弧AB=弧AC得到AB=AC，則根據等腰三角形的性質得BH=CH，再根據垂徑定理的推論可判斷點O在AH上，然后根據切線的性質得OA⊥AP，于是可判斷AP∥BC；
（2）根據平行線的性質，由AP∥BC得到∠P=∠PBC，再根據正切的定義得到tan∠OBH=，設OH=3x，則BH=4x，OB=5x，然后在Rt△ABH中利用正切的定義可計算出tan∠ABH=2，然后證明∠ABH=∠C=∠PAC即可．

詳解：(1)證明:作AH⊥BC于H,如圖,

∵弧AB=弧AC,
∴AB=AC,
∴BH=CH,
即AH垂直平分BC,
∴點O在AH上,
∵AP為切線,
∴OA⊥AP,
∴AP∥BC;
(2)解: ∵AP∥BC,
∴∠P=∠PBC,
在RT△OBH中,tan∠OBH=,
設OH=3x,則BH=4x,
∴OB=5x,
∴AH=OA+OH=8x,
在RT△ABH中,tan∠ABH==2,
∵∠ABH=∠C=∠PAC,∴tanPAC.