Question

【題目】將兩塊全等的直角三角形如圖1擺放在一起，設較短直角邊為1．現將Rt△BCD沿射線BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置（如圖2）．

（1）求證：四邊形ABC1D1是平行四邊形；

（2）當四邊形ABC1D1為矩形時，求矩形ABC1D1的面積；

（3）當點B的移動距離為多少時，四邊形ABC1D1為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）當點B的移動距離為時，四邊形ABC1D1為菱形．

【解析】

（1）通過證明AB＝C1D1，AB∥C1D1進一步證明結論即可；

（2）根據題意可得在移動過程中，四邊形ABC1D1恒為平行四邊形，所以只要∠BC1D1＝90°，四邊形ABC1D1即為矩形，據此進一步求解即可；

（3）當點B的移動距離為時，兩點重合，根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形進一步求解即可.

（1）證明：根據平移的性質得到：△ABD≌△CDB≌△C1D1B1，

∴AB＝C1D1．

又∵∠ABD＝∠C1D1B＝30°，

∴AB∥C1D1，

∴四邊形ABC1D1是平行四邊形；

（2）∵在移動過程中，四邊形ABC1D1恒為平行四邊形，

∴只要∠BC1D1＝90°，四邊形ABC1D1即為矩形，

此時在Rt△BB1C1中，B1C1＝1，∠BB1C1＝90°，∠B1BC1＝60°，

∴BC1＝2BB1，由勾股定理得，BC1＝，

由已知得：AB＝2，

∴矩形ABC1D1的面積＝×2＝；

（3）當四邊形ABC1D是菱形時，∠ABD1＝∠C1BD1＝30°，

∵B1C1＝1，

∴BB1＝＝，

∴當點B的移動距離為時，四邊形ABC1D1為菱形．