Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經過點A(1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點P是直線BC下方的拋物線上一動點（不點B，C重合），過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，設點P的橫坐標為m．

①用含m的代數式表示線段PD的長．

②連接PB，PC，求△PBC的面積最大時點P的坐標．

（3）設拋物線的對稱軸與BC交于點E，點M是拋物線的對稱軸上一點，N為y軸上一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①﹣m2+3m，②(，﹣)；（3）存在，點M的坐標為(2，3)，( 2，1﹣2)或(2，1+2)

【解析】

（1）根據已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（1，0）和點B（3，0）代入即可求解；

（2）①先確定直線BC解析式，根據過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，即可用含m的帶上書表示出P和D的坐標進而求解；

②用含m的代數式表示出△PBC的面積，可得S是關于m的二次函數，即可求解；

（3）根據（1）中所得二次函數圖象和對稱軸先得點E的坐標即可寫出點三個位置的點M的坐標．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經過點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，

∴，

解得：；

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3；

（2）如圖：

①設P（m，m2﹣4m+3），

將點B（3，0）、C（0，3）代入得直線BC解析式為yBC＝﹣x+3．

∵過點P作y軸的平行線交直線BC于點D，

∴D（m，﹣m+3），

∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．

答：用含m的代數式表示線段PD的長為﹣m2+3m．

②S△PBC＝S△CPD+S△BPD

＝OBPD＝﹣m2+m

＝﹣（m﹣）2+．

∴當m＝時，S有最大值．

當m＝時，m2﹣4m+3＝﹣．

∴P（，﹣）．

答：△PBC的面積最大時點P的坐標為（，﹣）．

（3）存在這樣的點M和點N，使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形．

根據題意，點E（2，1），

∴EF＝CF＝2，

∴EC＝，

根據菱形的四條邊相等，

∴ME＝EC＝，

∴M（2，1﹣）或（2，1+）

當EM＝EF＝2時，M（2，3）

∴點M的坐標為M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．