Question

（2012•新昌縣模擬）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，且AC平分∠OCB，直線l是它的對(duì)稱軸．
（1）求直線l和拋物線的解析式；
（2）直線BC與l相交于點(diǎn)D，沿直線l平移直線BC，與直線l，y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，探究四邊形CDEF為菱形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）線段CB上有一動(dòng)點(diǎn)P，從C點(diǎn)開始以每秒一個(gè)單位的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，PM⊥BC，交線段CA于點(diǎn)M，記點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△CPO與△CPM的面積之差為y，求y與t（0＜t≤6）之間的關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過程中y的最大值．  

Answer 1

分析：（1）利用A（3，0），B（8，0）的橫坐標(biāo)，求出直線l表達(dá)式，即3與8的平均數(shù)即為l的表達(dá)式；
（2）在Rt△ABC中，求出tanB=

OC

OB

=

3

4

，BC=

62+82

=10，cosB=

4

5

，然后求出D點(diǎn)坐標(biāo)，用BC-DB=10-

25

8

=

55

8

表示出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作PL⊥OC，垂足為L(zhǎng)，則∠CPL=∠B，由題意得CP=t，則LP=CP，表示出△CPO的面積為：

1

2

OC•LP=

12

5

t，在Rt△AOC中，表示出△CPM的面積為

1

2

CP•PM=

1

4

t2，從而得到y=

12

5

t-

1

4

t2 （0＜t≤6），進(jìn)而求出最大值．

解答：解：（1）直線l的解析式x=

3+8

2

=

11

2

．
如圖，過A作AK⊥BC于點(diǎn)K，
∵AC平分∠OCB，
∴AK=OA=3，CK=OC，AB=5，
∴KB=4．
方法一：設(shè)OC=x則CB=x+4，由勾股定理得：x²+8²=（x+4）²，得x=6，
∴C的坐標(biāo)為（0，6）．
方法二：由△ABK∽△CBO得

AK

OC

=

KB

OB

，得OC=6，
∴C的坐標(biāo)為（0，6）
設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-3）（x-8），將點(diǎn)C坐標(biāo)代入可得a=

1

4

，
∴所求拋物線解析式為：y=

1

4

(x-3)(x-8)，
即y=

1

4

x2-

11

4

x+6．
（2）方法一：
如圖，記直線l與x軸交于點(diǎn)N，則NB=2.5，
∵在Rt△OBC中，tanB=

OC

OB

=

3

4

，BC=

62+82

=10，
cosB=

4

5

，則DN=NB•tanB=

5

2

×

3

4

=

15

8

，
DB=

NB

cosB

=

25

8

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

11

2

，

15

8

）．
CD=BC-DB=10-

25

8

=

55

8

即菱形邊長(zhǎng)為

55

8

．

15

8

+

55

8

=

35

4

，

15

8

-

55

8

=-5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

11

2

，

35

4

）或（

11

2

，-5）．
方法二：四邊形CDEF為菱形時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)BC往下平移時(shí)，由菱形性質(zhì)知，點(diǎn)E₁即為直線CA與對(duì)稱軸交點(diǎn)．
求得直線AC方程為：y=-2x+6，
與對(duì)稱軸x=

11

2

的交點(diǎn)為E₁（

11

2

，-5）．
②當(dāng)BC往上平移時(shí)，即D點(diǎn)往上平移菱形的邊長(zhǎng)個(gè)單位得E₂．
求得直線BC：y=-

3

4

x+6，與對(duì)稱軸x=

11

2

交點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y_D=

15

8

，
菱形邊長(zhǎng)為y_D-y_E=

15

8

-（-5）=

55

8

，E₂點(diǎn)縱坐標(biāo)為：

15

8

+

55

8

=

35

4

．                                         
∴四邊形CDEF為菱形時(shí)，E₁（

11

2

，-5），E₂（

11

2

，

35

4

）．
（3）過點(diǎn)P作PL⊥OC，垂足為L(zhǎng)，則∠CPL=∠B，
而Rt△BOC中，sin∠B=

OC

BC

=

3

5

，cos∠B=

4

5

，
由題意得CP=t，則LP=CPcos∠B=

4t

5

，
△CPO的面積為：

1

2

OC•LP=

12

5

t，
∵CA平分∠OCB，
∴∠MCP=∠OCA，
Rt△AOC中，tan∠OCA=

OA

OC

=

1

2

，
∴PM=

t

2

．
△CPM的面積為：

1

2

CP•PM=

1

4

t2，
∴y=

12

5

t-

1

4

t2 （0＜t≤6），
當(dāng)t=

24

5

時(shí)，y有最大值為

144

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動(dòng)點(diǎn)問題、函數(shù)最值、配方法等知識(shí)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，有一定難度．