Question

【題目】將兩個全等的△ABC 和△DBE 按圖 1 方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點 E 落在 AB 上，DE 所在直線交 AC 所在直線于點 F．

（1）若將圖 1 中的△DBE 繞點 B 按順時針方向旋轉角α，且 0°＜α＜60°，其它條件不變，如圖 2，請你直接寫出線段 AF，EF，DE 的數量關系；

（2）若將圖 1 中的△DBE 繞點 B 按順時針方向旋轉角β，且 60°≤β≤180°，其它條件不變．

①如圖 3，（1）中線段 AF，EF，DE 的數量關系是否仍然成立，若成立，請證明該結論；若不成立，請寫出新的結論并證明．

②如圖 4，AB 中點為 M，BE 中點為 N，若 BC＝ 2，連接 MN，當β＝ 度時，MN 長度最大，最大值為 　　　 （直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）AF+EF=DE；（2）①不成立．此時AF、EF與DE的關系為AF-EF=DE；②180,

【解析】

（1）連接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC=BE，根據直角三角形的HL判定全等即可得出答案；

（2）①同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，即可得出答案；②先利用三角形的三邊關系，判斷出點M，B，N在同一條直線上時，MN最大，即可得出答案．

解：（1）AF+EF=DE

連接BF（如圖①），

∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，AC=DE

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴∠BCF=∠BEF=90°，

∵BF=BF，

∴Rt△BFC≌Rt△BFE，

∴CF=EF，

又∵AF+CF=AC，

∴AF+EF=DE；

（2）①不成立．此時AF、EF與DE的關系為AF-EF=DE，

理由：連接BF（如圖③），

∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，AC=DE，

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴∠BCF=∠BEF=90°，

又∵BF=BF，

∴Rt△BFC≌Rt△BFE，

∴CF=EF，

又∵AF-CF=AC，

∴AF-EF=DE，

∴（1）中的結論不成立，正確的結論是AF-EF=DE

②在△BMN中，BN+BM>MN

∴點M,B,N在同一條直線上時

MN最大，最大值為BN+BM

即

由（1）知，BE=BC=

∵點N是BE的中點

∴BN=BE=

在RT△ABC中，∠A=30°，BC=

∴AB=2BC=

∵點M是AB的中點

∴BM=AB=

∴MN的最大值為：BN+BM==

故答案為：180,．