Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC，AC于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD，AB的延長線相交于點G．

（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若CF=1，DF= ，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD、OD，如圖所示．

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AC=AB，

∴點D為線段BC的中點．

∵點O為AB的中點，

∴OD為△BAC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線

（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF= ，

∴tan∠C= = ，CD=2，

∴∠C=60°，

∵AC=AB，

∴△ABC為等邊三角形，

∴AB=4．

∵OD∥AC，

∴∠DOG=∠BAC=60°，

∴DG=ODtan∠DOG=2 ，

∴S陰影=S△ODG﹣S扇形OBD= DGOD﹣ πOB2=2 ﹣ π．

【解析】（1）連接AD、OD，由AB為直徑可得出點D為BC的中點，由此得出OD為△BAC的中位線，再根據中位線的性質即可得出OD⊥DF，從而證出DF是⊙O的切線；（2）CF=1，DF= ，通過解直角三角形得出CD=2、∠C=60°，從而得出△ABC為等邊三角形，再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積．本題考查了等腰三角形的性質、切線的判定、扇形面積的計算以及三角形面積的計算，解題的關鍵是：（1）證出OD⊥DF；（2）利用分割圖形求面積法求出陰影部分的面積．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用分割圖形求面積法求面積是解題的難點，在日常練習中應加強訓練．