Question

19．如圖，已知△ABC是等邊三角形，且AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度數；
（2）求證：BP=2PQ．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質，通過全等三角形的判定定理SAS證得結論；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應角相等和三角形外角的性質求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的結果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
∴在△AEB與△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAE=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDA（SAS）；

（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°，

（3）解：如圖，由（2）知，∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP，
∴BP=2PQ．

點評 此題是全等三角形的判定與性質，主要考查了等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件，此題是一道比較典型的題目，需記住這種題型的解決方法．