Question

【題目】如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】解:（1）

（2）存在P1（－1， ）、P2（1，6），P3（1， ）

（3）連OE設四邊形BOCE的面積為S，點E的坐標為（）

∵E在第二象限　　　　　　　

∴3＜x＜0 －x2－2x＋3＞0

∵S＝S△BOE＋S△COE＝＋×3×（－×）

＝

∵－3＜x＜0

∴當x＝－時，S最大為

此時，E（）

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求函數解析式即可；（2）分CP=MP、CM=CP、CM=MP三種情況討論，（3）過點E作EF⊥x軸于點F，設E（a，－－2a＋3）（－3＜a＜0），然后用a表示出四邊形BOCE面積，然后利用二次函數的性質確定最大值即可得到點E坐標．

試題解析：解︰（1）由題知︰，解得︰

∴所求拋物線解析式為︰

（2）存在符合條件的點P，

其坐標為P（－1，）或P（－1，－）或P（－1，6）或P（－1，）

（3）解法①：

過點E作EF⊥x軸于點F，設E（a，－－2a＋3）（－3＜a＜0）

∴EF＝－－2a＋3，BF＝a＋3，OF＝－a

∴S四邊形BOCE＝BF·EF＋（OC＋EF）·OF

＝（a＋3）·（－－2a＋3）＋（－－2a＋6）·（－a）

＝＝－＋

∴當a＝－時，S四邊形BOCE最大，且最大值為．

此時，點E坐標為（－，）

解法②：

過點E作EF⊥x軸于點F，設E（x，y）（－3＜x＜0）

則S四邊形BOCE＝（3＋y）·（－x）＋（3＋x）·y

＝（y－x）＝（）＝－＋

∴當x＝－時，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時，點E坐標為（－，）