Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，M為CD中點，AM平分∠DAB，AD＋BC＝AB．求證：BM平分∠ABC．

小淇證明過程如下：

延長BC至點F，使得CF＝AD，連接MF．

∵ AD∥BC， ∴ ∠D＝∠MCF．

∵ M為CD中點，∴ DM＝CM．

在△ADM和△FCM中，

∴ △ADM≌△FCM（SAS）． ∴ AM＝FM．

∵ BF＝BC＋CF＝BC＋AD＝AB，∴ △ABF是等腰三角形．

∴ BM平分∠ABC（等腰三角形底邊上的中線與頂角的角平分重合）．

（1）請你簡要敘述小淇證明方法的錯誤之處；

（2）若AB＝5，AM＝3，求四邊形ABCD面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）12.

【解析】

（1）根據題中的證明過程可知錯誤之處在于沒有證明A，M，F三點共線；

（2）延長AM、BC交于點F，先證明△ADM≌△FCM，再證明△ABF是等腰三角形，利用三線合一的性質可得BM⊥AF，然后求出BM和AF可得△ABF的面積，再證明四邊形ABCD面積等于△ABF的面積即可.

解：（1）小淇證明方法的錯誤之處在于沒有證明A，M，F三點共線，故無法運用等腰三角形三線合一的性質證明BM平分∠ABC；

（2）如圖，延長AM、BC交于點F．

∵AD∥BC，

∴∠D＝∠MCF，

在△ADM和△FCM中，，

∴△ADM≌△FCM（ASA），

∴AD＝CF，AM＝MF，S△ADM=S△FCM，

∵AD＋BC＝AB，

∴BC＋CF＝BC＋AD＝BF＝AB，

∵AB＝BF，AM＝MF，

∴BM⊥AF，

∵AB＝5，AM＝3，

∴BM=4，AF=6，

∴S△ABF=，

∴四邊形ABCD面積=S四邊形ABCM + S△ADM= S四邊形ABCM+ S△FCM= S△ABF=12.