Question

【題目】在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，點D為射線AB上一點，連接CD，過點C作線段CD的垂線l，在直線l上，分別在點C的兩側截取與線段CD相等的線段CE和CF，連接AE、BF．

（1）當點D在線段AB上時（點D不與點A、B重合），如圖1

①請你將圖形補充完整；

②線段BF、AD所在直線的位置關系為　 　，線段BF、AD的數量關系為　 　；

（2）當點D在線段AB的延長線上時，如圖2

①請你將圖形補充完整；

②在（1）中②問的結論是否仍然成立？如果成立請進行證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①補圖見解析；②垂直、相等；（2）①補圖見解析；②成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）①D在線段AB上時，在直線l上截取CE=CF=CD，即可畫出圖象．②在圖1中證明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

（2）①D在線段AB延長線上時，在直線l上截取CE=CF=CD，即可畫出圖象．②在圖2中證明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

試題解析：解：（1）①見圖1所示．

②證明：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCF，∴∠ACD=∠BCF

∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

故答案為：垂直、相等．

（2）①見圖2所示．

②成立．理由如下：

證明：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF．∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．