Question

已知：⊙O的半徑OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中點，點P是射線AO上一點（與點A不重合），直線PC與射線BO交于點D.

（1）當點P在⊙O上，求OD的長.
（2）若點P在AO的延長線上，設OP=x，，求y與x的函數關系式并寫出自變量x 的取值范圍。
（3）連接CO，若△PCO與△PCA相似，求此時BD的長。

Answer 1

解：當P在⊙O上時，連接BP       
∵ C是AB中點，O是AP中點，
∴ 點D為△ABP的重心， ∴ 
∵ OA=OB=5  ∴  
（2）過點O作OE//AB，交PC于點E（如圖） 

∵OE//AB ∴，     
又∵ AC=BC  ∴ 
即  (x>0) 
(3) 當P在AO延長線上時，若△PCO∽△PAC時，有∠PCO=∠A，
∵∠A=∠B，∴∠PCO=∠B， 易證△ACO∽△BDC
得    得   ∴ 
當P在AO上時，若△PCO∽△PAC時，可得CP⊥AO（如圖）
作BH⊥AO，可求得  ，
由， 得     ∴
則 
綜上所述，若△PCO與△PCA相似，此時BD的長為或

（1）連接BP，由兩個中點得出點D是重心，可以得到；
（2）過點O作OE//AB，由三角形中線段的相似比找出y與x的函數關系式；
（3）考慮兩種情況：點P在AO延長線上或者點P在AO上。