Question

【題目】如圖，直線y＝－x＋4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且．

（1）求點A的坐標及直線BC的函數關系式；

（2）點M在x軸上，連接MB，當∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標；

（3）若點P在x軸上，平面內是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）,lBC： ;（2）M1（3，0）, ;（3）Q1（－5，4）,Q2（5，4）, Q3（0，－4）,Q4.

【解析】試題分析: （1）首先求出A、B、C三點坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式即可．

（2）當點M在點A的左邊時，可以證明BC=BM，OC=OM=3，推出M（3，0），作點M關于直線AB的對稱點N，作直線BN交x軸于M1，則∠M1BA=∠MBA，點M1滿足條件，求出直線BN的解析式即可解決問題．

（3）畫出圖形，分兩種情形討論即可①當BC為菱形的邊時，四邊形CP1Q1B，四邊形CP3Q3B，四邊形BCQ2P2是菱形，②當BC是菱形的對角線時，四邊形CP4BQ4是菱形．

試題解析:

(1)對于直線y=x+4，令x=0的y=4，令y=0得x=4，

∴A(4,0),B(0,4)，

∴OB=OA=4，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴C(3,0)，

設直線BC的解析式為y=kx+b,則有，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x+4.

(2)如圖1中，

當點M在點A的左邊時，

∵OB=OA=4,∠AOB=90°，

∴∠ABO=45°，

∴∠CBO+∠MBA=∠MBA+∠MBO=45°，

∴∠CBO=∠OBM，

∵∠CBO+∠BCO=90°,∠BMO+∠OBM=90°，

∴∠BCO=∠BMO，

∴BC=BM，OC=OM=3，

∴M(3,0)，

作點M關于直線AB的對稱點N,作直線BN交x軸于M ,則∠M BA=∠MBA,點M 滿足條件.

∵N(4,1),B(0,4)，

∴直線BN的解析式為y=x+4,令y=0,得x=，

∴M (,0)，

綜上所述,滿足條件的點點M的坐標為(3,0)或(,0).

(3)如圖2中，

∵BC==5，

當BC為菱形的邊時,四邊形CPQB,四邊形CPQB,四邊形BCQP是菱形,此時Q (5,4),Q (5,4),Q (0,4)，

當BC是菱形的對角線時,四邊形是菱形,可得 (256,4).

綜上所述,滿足條件的點Q的坐標為(5,4)或(5,4)或(0,4)或(,4).

點睛:本題考查一次函數綜合題、待定系數法、菱形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，不能漏解，屬于中考常考題型.