Question

觀察下列等式：1²+（1×2）²+2²=9=（1²+1+1）²，2²+（2×3）²+3²=49=（2²+2+1）²，3²+（3×4）²+4²=169=（3²+3+1）²，4²+（4×5）²+5²=441=（4²+4+1）²，5²+（5×6）²+6²=961=（5²+5+1）²，…
（1）根據(jù)以上運(yùn)算，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，用含有n（n為正整數(shù)）的等式表示該規(guī)律；
（2）請(qǐng)用分解因式的知識(shí)說明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的正確性．

Answer 1

解：（1）規(guī)律：n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=（n²+n+1）²；

（2）說明：n²+[n（n+1）]²+（n+1）²
=n²+n²（n+1）²+（n+1）²
=n²（1+n²+2n+1）+（n+1）²
=n²[n²+2（n+1）]+（n+1）²
=n⁴+2n²（n+1）+（n+1）²
=（n²+n+1）²．
分析：（1）根據(jù)已知的等式，發(fā)現(xiàn)：等式的左邊是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和加上兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積的平方，等式的右邊是較小自然數(shù)的平方加上較小的自然數(shù)加上1的和的平方；
（2）運(yùn)用提公因式法、完全平方公式進(jìn)行整理證明．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解在代數(shù)式中的運(yùn)用，能夠靈活運(yùn)用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．