Question

【題目】如圖1,為軸負半軸上一點,為軸正半軸上一點,點坐標為，點坐標為且．

（1）求兩點的坐標；

（2）求；

（3）如圖2,若點坐標為點坐標為,點為線段上一點，的延長線交線段于點,若，求出點坐標．

（4）如圖3,若,點在軸正半軸上任意運動，的平分線交的延長線于點,在點的運動過程中，的值是否發生變化，若不變化,求出比值；若變化請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，-2），D（-3，-2）；（2）3；（3）Q（，）；（4）值不變，且為

【解析】

（1）根據中絕對值和算術平方根的非負性可求得a和b的值，從而得到C和D的坐標；

（2）求出CD的長度，再根據三角形的面積公式列式計算即可；

（3）根據可得△ABQ的面積等于△BOC的面積，求出△OBC的面積，再根據AB的長度可求得點Q的縱坐標，然后求出直線AC的表達式，代入點Q縱坐標即可求出點Q的橫坐標；

（4）在△AOE和△BFC中，利用三角形內角和定理列式整理表示出∠ABC，然后相比即可得解.

解：（1）∵，

∴a+2=0，b+3=0，

∴a=-2，b=-3，

∴C（0，-2），D（-3，-2）；

（2）∵C（0，-2），D（-3，-2），

∴CD=3，且CD∥x軸，

∴=×3×2=3；

（3）∵，△OBP為公共部分，

∴S△ABQ=S△BOC，

∵B（2，0），C（0，-2）

∴S△BOC==2= S△ABQ，

∵A（-3，0），

∴AB=5,

S△ABQ==2，

∴，

設直線AC的表達式為y=kx+b，

將A，C坐標代入，

，

解得：，

∴直線AC的表達式為：，

令y=，

解得x=，

∴點Q的坐標為（，）；

（4）在△ACE中，設∠ADC=∠DAC=α，∠ACE=β，

∠E=∠DAC-∠ACE=α-β，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACE=β，

在△AFE和△BFC中，

∠E+∠EAF+∠AFE=180°，

∠ABC+∠BCF+∠BFC=180°，

∵CD∥x軸，

∴∠EAF=∠ADC=α，

又∵∠AFE=∠BFC，

∴∠E+∠EAF=∠ABC+∠BCF，

即α-β+α=∠ABC+β，

∴∠ABC=2（α-β），

∴==，為定值.