Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉，得到△ACD′．

（1）當∠DAE=45°時，求證：DE=D′E；

（2）在（1）得條件下，猜想：BD2、DE2、CE2有怎樣的數量關系？請寫出，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD2+CE2=DE2．理由見解析

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得AD=AD′，∠CAD′=∠BAD，然后求出∠D′AE=45°，從而得到∠DAE=∠D′AE，再利用“邊角邊”證明△ADE和△AD′E全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；

（2）由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，由等腰直角三角形的性質可得AB=AC，∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，再根據已知可得BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，繼而可得∠BCD′=90°，在Rt△CD′E中，根據勾股定理有CE2+D′C2=D′E2，繼而利用等量代換即可得BD2+CE2=DE2．

（1）∵△ABD繞點A旋轉，得到△ACD′，

∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，

∵∠DAE=45°

∴∠EAD′=∠DAD′﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠EAD′=∠DAE，

在△AED與△AED′中

，

∴△AED≌△AED′，

∴DE=D′E；

（2）BD2+CE2=DE2．理由如下：

由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵△ABD繞點A旋轉，得到△ACD′

∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，

∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，

在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2，

∴BD2+CE2=DE2．