Question

【題目】(本題滿分10分)定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點.

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=3，MN=5,求BN的長；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，AC=BC，點M，N在斜邊AB上，MCN=45，求證：點M，N是線段AB的勾股分割點.

Answer 1

【答案】(1)當MN最長時，BN=4;

當BN最長時，BN=;…………4分

如圖,過點A作AD⊥AB,且AD=BN

證 △ADC≌△BNC,∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,

再證：∠MCD=∠BCM,

證 △MDC≌△MNC,∴MD=MN

在Rt△MDA中，

∴

∴點M，N是線段AB的勾股分割點.…………10分

【解析】試題分析：（1）分兩種切線利用勾股定理即可解決問題；

（2）如圖，過點A作AD⊥AB，且AD=BN．只要證明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再證明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解決問題.

試題解析：（1）當MN最長時，BN==4；

當BN最長時，BN==；

（2）如圖，過點A作AD⊥AB，且AD=BN，

∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，

∴△ADC≌△BNC，

∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，

∵∠MCN=45°，

∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，

∴∠MCD=∠BCM，

∴△MDC≌△MNC，

∴MD=MN，

在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，

∴BN2+AM2=MN2，

∴點M，N是線段AB的勾股分割點。