Question

【題目】如圖，在邊長為的正方形中，點，，，分別按，，，的方向同時出

發，以的速度勻速運動．在運動過程中，設四邊形的面積為，運動時間為．

試證明四邊形是正方形；

寫出關于的函數關系式，并求運動幾秒鐘時，面積最小，最小值是多少？

是否存在某一時刻，使四邊形的面積與正方形的面積比是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明見解析；秒時，有最小值，最小值是；或時，四邊形的面積與正方形的面積的比是．

【解析】

根據四個點的速度相同可知，根據正方形的性質可證明可證明四邊形是菱形，根據，，可知，即可證明四邊形為正方形． （2）時間為t，速度為1，則AE=t，AH=4-t，即可知S關于t的關系式.根據關系式即可求出最小值與最大值.（3）根據邊長可求出正方形ABCD的面積，再根據面積比，結合（2）所求關系式即可求出t的值.

∵點，，，在四條邊上的運動速度相同，

∴，

在正方形中，，

且，

∴，

∴，

∴（全等三角形的對應邊相等），

（全等三角形的對應角相等），

∴四邊形是菱形．（四條邊相等的四邊形是菱形），

又∵，

∴，

∴，

∴四邊形為正方形．（有一個角是直角的菱形是正方形）．

∵運動時間為，運動速度為，

∴，，

由知四邊形為正方形，

∴

即，

當秒時，有最小值，最小值是；

存在某一時刻，使四邊形的面積與正方形的面積比是．

∵，

∴，∴，；

當或時，

四邊形的面積與正方形的面積的比是．