Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8 ，AD=10，點E是CD的中點，將這張紙片依次折疊兩次：第一次折疊紙片使點A與點E重合，如圖2，折痕為MN，連接ME、NE；第二次折疊紙片使點N與點E重合，如圖3，點B落到B′處，折痕為HG，連接HE，則下列結論正確的個數是（ ） ①ME∥HG；②△MEH是等邊三角形；③∠EHG=∠AMN；④tan∠EHG=

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖3，由折疊可得，∠MEN=∠A=90°，HG⊥NE， 即ME⊥EN，HG⊥EN，
∴EM∥GH，故①正確；
∴∠NME=∠NHG，
由折疊可得，∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，
∴∠AMN=∠EHG，故③正確；
如圖2，作NF⊥CD于F．
設DM=x，則AM=EM=10﹣x，
∵點E是CD的中點，AB=CD=8 ，
∴DE= CD=4 ，
在Rt△DEM中，∵DM2+DE2=EM2 ，
∴（4 ）2+x2=（10﹣x）2 ，
解得x=2.6，
∴DM=2.6，AM=EM=7.4，
∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，
∴∠DEM=∠ENF，
∵∠D=∠EFN=90°，
∴△DME∽△FEN，
∴ = ，即 = ，
∴EN= ，
∴AN= ，
∴tan∠AMN= = ，
∴tan∠EHG= ，故④正確；
又∵tan60°= ＞ ，
∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，
∴△MEH不是等邊三角形，故②錯誤．
∴正確的結論有3個．
故選：C．


【考點精析】根據題目的已知條件，利用矩形的性質和翻折變換（折疊問題）的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．