Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，C是直角頂點．操作并觀察：將三角尺45°角的頂點與點C重合，使這個角落在∠ACB的內部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F(CE不與CA重合，CF不與CB重合)，然后將這個角繞點C在∠ACB內部旋轉． (1) ∠ACE＋∠BCF的度數為多少？ (2) 觀察點E、F的位置發生變化時，AE、EF、FB中最大線段是否始終是EF？ (3) 探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形？若能，試給出證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	∠ACE＋∠BCF＝45°
(2)	是
(3)	能 　　證明：把⊿CBF繞點C順時針旋轉90°得⊿CAG，使CB與CA重合，連結GE 　　根據旋轉性質，∠ACG＝∠BCF，AG＝BF，CG＝CF 　　∴∠ECG＝∠ECA＋∠ACG＝∠ECA＋∠BCF＝45° 　　在⊿ECG和⊿ECF中 　　 　　∴⊿ECG≌⊿ECF中 　　∴EG＝EF 　　∵∠GAC＝∠B＝45° 　　∴∠GAE＝∠GAC＋∠CAE＝45°＋45°＝90° 　　∴⊿GAE是以GE為斜邊的直角三角形，而GE＝EF，AG＝BF 　　∴AE、EF、FB能組成以EF為斜邊的直角三角形