Question

22、如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D為直線BC上一點，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，
（1）如圖（1）若D為BC的中點，求證：DE+DF=CH．
（2）如圖（2）若D為BC延長線上一點，其他條件不變，線段DE．DF．CH 之間有何數量關系，請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）過點D作DG⊥CH，交CH于G，求證△DGC≌△CED，然后根據線段之間的等量關系即可得出答案；
（2）過點C作CG⊥DF，交DF于G，求證△CED≌△CGD，然后根據線段之間的等量關系即可得出答案．

解答：證明：

（1）如圖（1），過點D作DG⊥CH，交CH于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，DG⊥CH，
∴四邊形DGHF為矩形，∴DF=GH，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∠DCG+∠ABC=90°，∠CDE+∠ACB=90°，
∴∠DCG=∠CDE，
又∵DG⊥CH，DE⊥AC，
∴∠DGC=∠CED=90°，
又∵DC為公共邊，
∴△DGC≌△CED，（SAS）
∴DE=CG
∴DF+DE=HG+CG=CH．
（2）DF=DE+CH
如圖（2），過點C作CG⊥DF，交DF于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，CG⊥DF，
∴四邊形CGFH為矩形，∴CH=GF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠CDG+∠ABC=90°，∠DCE=∠ACB=∠ABC，
∠CDE+∠ABC=90°，
∴∠CDE=∠CDG，
又∵DE⊥AC，CG⊥DF，
∴∠CGD=∠CED=90°，
又∵CD為公共邊
∴△CED≌△CGD，
∴DE=DG，∴DF=FG+DG=CH+DE．

點評：此題考查學生對全等三角形的判定與性質和等腰三角形的性質的理解和掌握，解答此題的關鍵是（1）過點D作DG⊥CH，交CH于G，求證△DGC≌△CED；（2）過點C作CG⊥DF，交DF于G，求證△CED≌△CGD．