Question

【題目】如圖①，已知AB是⊙O的直徑，點D是線段AB延長線上的一個動點，直線DF垂直于射線AB于點D，當直線DF繞點D逆時針旋轉時，與⊙O交于點C，且運動過程中，保持CD＝OA

（1）當直線DF與⊙O相切于點C時，求旋轉角的度數；

（2）當直線DF與半圓O相交于點C時（如圖②），設另一交點為E，連接AE，OC，若AE∥OC．

①AE與OD的大小有什么關系？說明理由．

②求此時旋轉角的度數．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①結論：AE＝OD．②∠CDF＝54°

【解析】

（1）連接OC，因為CD是⊙O的切線，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD=45°即可解決問題；

（2）連接OE，①證明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；

②利用等腰三角形及平行線的性質，根據三角形內角和定理構建方程可求得∠ODC的度數，即可解決問題；

（1）如圖①，連接OC．

∵OC＝OA，CD＝OA，

∴OC＝CD，

∴∠ODC＝∠COD，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD＝90°，

∴∠ODC＝45°；

∴旋轉角∠CDF＝90°﹣45°＝45°．

（2）如圖②，連接OE．

∵CD＝OA，

∴CD＝OC＝OE＝OA，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵AE∥OC，

∴∠2＝∠3．

設∠ODC＝∠1＝x，則∠2＝∠3＝∠4＝x．

∴∠AOE＝∠OCD＝180°﹣2x．

①結論：AE＝OD．理由如下：

在△AOE與△OCD中，

，

∴△AOE≌△OCD（SAS），

∴AE＝OD．

②∵∠6＝∠1+∠2＝2x．OE＝OC，

∴∠5＝∠6＝2x．

∵AE∥OC，

∴∠4+∠5+∠6＝180°，即：x+2x+2x＝180°，

∴x＝36°．

∴∠ODC＝36°，

∴旋轉角∠CDF＝54°．