Question

18、證明：有無窮多個n，使多項式n²+n+41
（1）表示合數；
（2）為43的倍數．

Answer 1

分析：（1）先把原式化為n（n+1）+41的形式，再設n=41k或n=41k-1，代入代數式即可得到關于k的式子，由合數的定義即可解答；
（2）設n²+n+41=43k，（k是正整數），再把方程左邊因式分解，由合數的定義即可解答．

解答：證明：（1）要使n（n+1）+41是合數．
則只要n（n+1）是41的倍數就可以．
要使n（n+1）是41的倍數，則n=41k或n=41k-1，
當n=41k（k為自然數）時，原式=41k²+41k++41=41（k²+k+1），
同理，當n=41k-1時，原式=41k²+41k++41=41（k²+k+1），
滿足此條件的自然數k有無數個，所以對應的n也有無窮多個；
（2）使多項式n²+n+41為43的倍數，
設n²+n+41=43k，（k是正整數）
n²+n-2=43（k-1），
（n+2）（n-1）=43（k-1），
要使n（n+1）+41是43的倍數，
則只要（n+2）（n-1）是43的倍數就可以．
則n=43k-2或n=43k+1（k=0、1、2、3…），
當n=43k-2時，原式=（43k）²+3×43k+43=43（k²+3k+1），
同理可得，當n=43k+1時，原式=（43k）²+3×43k+43=43（k²+3k+1），
滿足此條件的k有無窮多個，
故表示為43的倍數的n也有無窮多個．

點評：本題考查的是質數與合數，熟知合數的定義是解答此題的關鍵．