Question

【題目】如果一個正整數(shù)能寫成的形式（其中a，b均為自然數(shù)），則稱之為婆羅摩笈多數(shù)，比如7和31均是婆羅摩笈多數(shù)，因為7＝22＋3×12，31＝22＋3×32。

（1）請證明：28和217都是婆羅摩笈多數(shù)。

（2）請證明：任何兩個婆羅摩笈多數(shù)的乘積依舊是婆羅摩笈多數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)一個正整數(shù)能寫成a2+3b2的形式，則稱之為婆羅摩笈多數(shù)，將28和217都寫成a2+3b2的形式即可證明；

（2）設(shè)一個婆羅摩笈多數(shù)為x＝a2+3b2，另一個婆羅摩笈多數(shù)為y＝c2+3d2，所以xy＝（a2+3b2）（c2+3d2），然后根據(jù)乘法公式化簡，最后分解因式即可．

證明：（1）∵28＝12+3×32＝28，

217＝132+3×42＝217，

∴28和217都是婆羅摩笈多數(shù)．

（2）設(shè)一個婆羅摩笈多數(shù)為x＝a2+3b2，另一個婆羅摩笈多數(shù)為y＝c2+3d2，

xy＝（a2+3b2）（c2+3d2）

＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2

＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2

＝（ac+3bd）2+3（ad﹣bc）2

因此，任何兩個婆羅摩笈多數(shù)的乘積依舊是婆羅摩笈多數(shù)．