Question

（2009•永州）問題探究：
（1）如圖①所示是一個半徑為，高為4的圓柱體和它的側面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點出發沿圓柱的側面爬行一周到達B點，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側面沿母線AB剪開，它的側面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；
（2）如圖②所示是一個底面半徑為，母線長為4的圓錐和它的側面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周后回到A點，求螞蟻爬行的最短路程；
（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點出發沿圓錐的側面爬行一周到達母線PA上的一點，求螞蟻爬行的最短路程．

Answer 1

【答案】分析：（1）螞蟻爬行的最短路程為矩形的對角線的長度，由勾股定理可求得．
（2）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中的AA′的連線，可求得△PAA′是等邊三角形，則AA′=PA=4．
（3）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中點A到PA的距離．
解答：解：（1）∵BB′=2π×=3，
AB′==5．
即螞蟻爬行的最短路程為5．（4分）

（2）連接AA′，則AA′的長為螞蟻爬行的最短路程，
設r₁為圓錐底面半徑，r₂為側面展開圖（扇形）的半徑，
則，
由題意得：，即，
∴n=60，
∴△PAA′是等邊三角形，
∴最短路程為AA′=PA=4．

（3）如圖③所示是圓錐的側面展開圖，
過A作AC⊥PA′于點C，
則線段AC的長就是螞蟻爬行的最短路程．
∴AC=PA•sin∠APA'=4×sin60°=4×=，
∴螞蟻爬行的最短距離為．
點評：本題利用了勾股定理，矩形的性質，圓周長公式，弧長公式，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質求解．