Question

如圖，已知凸四邊形ABCD，E，F，G，H分別在AB，BC，CD，DA上，且BE=2AE，BF=2CF，DH=2AH，DG=2CG，求證：S_KLMN=S_△AKH+S_△BEL+S_△CFM+S_△DNG．

Answer 1

分析：由題意連接AC，得出三角形ADG的面積，然后根據圖形可知S△ADG+S△BCE=

2

3

S四邊形ABCD，從而進行證明．

解答：證明：連AC，
因為DG=2GC，所以S△ADG=

2

3

S△ADC
∵BE=2AE，
∴S△BEC=

2

3

S△ABC
∴S△ADG+S△BCE=

2

3

S四邊形ABCD
同理，S△DCF+S△ABH=

1

3

S四邊形ABCD
∴S_△ADC+S_△BCE+S_△DCF+S_△ABH=

2

3

S_{四邊形ABCD}+

1

3

S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形KLMN}+（S_△ADG-S_△DGN）+（S_△DCF-S_△CFM）+（S_△CBE-S_△BEL）+（S_△ABH-S_△AHK）
由（1）、（2）得，S_{四邊形KLMN}=S_△AHK+S_△BEL+S_△CFM+S_△DGN

點評：此題主要考查了三角形的面積公式，用規則的圖形表示出不規則的圖形是解題的關鍵．