Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．由題意易得△AOE≌△COE，∴∠AOE=∠COE=90°，∴BE⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形；
（2）根據有一個角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四邊形ABCD是正方形．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO．
∵△ACE是等邊三角形，
∴EO⊥AC（三線合一），又四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BE，
∴∠AOE=90°，即△AOE是直角三角形，
∴∠AED+∠EAO=90°
∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAO=60°，
∴∠AED=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°，
∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°
∵四邊形ABCD是菱形．
∴∠BAD=2∠DAO=90°
∴平行四邊形ABCD是正方形．
點評：此題主要考查菱形和正方形的判定．