Question

如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點
E，F，連接AP，EF，給出下列四個結論：
               
①AP =EF；②∠PFE=∠BAP；③PD= EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正確的結論有

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

C

解：作PH⊥AB于H，
∴∠PHB=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，
∴四邊形BEPH和四邊形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，
∴四邊形BEPH為正方形，
∴BH=BE=PE=HP，
∴AH=CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①、②正確，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得
PD=" 2" PF，
∴PD=" 2" CE．
故③正確．
∵點P在BD上，
∴當AP=AD、PA=PD或DA=DP時△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三種情況．
故④錯誤，
∴正確的個數有3個．
故選C．