Question

【題目】如圖，點O是Rt△ABC的AB邊上一點，∠ACB＝90°，⊙O與AC相切于點D，與邊AB，BC分別相交于點E，F．

(1)求證：DE＝DF；

(2)當BC＝3，sinA＝時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE=．

【解析】

(1)連接OD，OF，由切線的性質可得∠ADO＝90°，從而得到OD∥BC，從而得到∠AOD＝∠ABC，∠DOF＝∠OFB，并由半徑相等，再進行角的代換從而得到∠AOD＝∠DOF，即可求解.

(2) Rt△ABC中,有正弦的定義求出AB，再由Rt△AOD中，設圓的半徑為r，通過正弦建立比例式方程從而進行求解.

解：（1）如圖所示，連接OD，OF，

∵⊙O與AC相切于點D，

∴∠ADO＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴OD∥BC，

∴∠AOD＝∠ABC，∠DOF＝∠OFB，

∵OB＝OF，

∴∠ABC＝∠OFB，

∴∠AOD＝∠DOF，

∴DE＝DF；

（2）在Rt△ABC中，∵BC＝3，sinA＝＝，

∴AB＝5，

設⊙O的半徑為r，則OB＝OD＝OE＝r，

則AO＝AB﹣OB＝5﹣r，AE＝5﹣2r，

在Rt△AOD中，∵sinA＝＝，

∴＝，解得r＝，

則AE＝5﹣2r＝．