Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，點O是邊AB上一點，以點O為圓心，以OB為半徑作圓，⊙O恰好經過點D．

（1）求證：直線AC是⊙O的切線；

（2）若∠A=30°，⊙O的半徑是2，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CD=

【解析】

（1）連接DO，根據圓的性質及角平分線的性質得到OD∥BC，再利用平行線的性質得到∠ODA=∠C=90°，即可得到結論；

（2）先根據∠A=30°求出OA得到AB及BC，再設DC=x,則DB=2x，利用勾股定理求出CD的長.

（1）證明：連接DO，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠DBA，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠DBA，

∴∠ODB=∠DBC，

∴OD∥BC，

∴∠ODA=∠C=90°，

∴直線AC是⊙O的切線；

（2）在Rt△ADO中，∠A=30°，

∴AO=2DO=4

∴AB=4+2=6

∴BC=3

在Rt△BCD中，

∠ABC=90°-30°=60°

∴∠DBC=∠DBA=30°

設DC=x,則DB=2x

x2+9=4 x2，解之得，x =

∴CD=.