Question

如圖，在圓內接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，則四邊形ABCD的面積為

 

．

Answer 1

分析：連接BD，構造等邊三角形．根據等邊三角形的性質和全等三角形的性質得到BC+CD=AC=a．
作AF⊥BC，交BC延長線于F，作AG⊥DC，交CD于G，將四邊形ABCD的面積轉化為S_△ABC和S_△ACD的面積之和解答．

解答：解：連接BD．
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴三角形ABD是等邊三角形．
在AC上取CE=CD，連接DE．
∠ECD=∠ABD=60°，
∴△CDE是等邊三角形．
CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB-∠EDB，∠BDC=∠EDC-∠EDB，
∠ADE=∠BDC，
△ADE≌△BDC，
AE=BC，
BC+CD=AC=a．
作AF⊥BC，交BC延長線于F，作AG⊥DC，交CD于G．
∠ACB=∠ADB=60°（同弧圓周角相等），
AF=AC•sin60°=

3 a

2

，
同理，AG=AC•sin60°=

3 a

2

，
四邊形ABCD的面積=S_△ABC+S_△ACD
=

BC•AF

2

+

AG•CD

2

=

3 a

2

×

BC+CD

2

=

3 a

4

•AC
=

3 a2

4

．

點評：此題是一道難題，考查了同學們構建特殊三角形、全等三角形解題的能力，是對同學們創造性思維的考驗．