Question

【題目】如圖，正方形ABCD的過長是3，BP＝CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD、BC交于點F、E，連接AE．

（1）求證：AQ⊥DP；

（2）求證：AO2＝ODOP；

（3）當BP＝1時，求QO的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）QO＝．

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根據全等三角形的性質得到∠P＝∠Q，根據余角的性質得到AQ⊥DP．

（2）根據相似三角形的性質得到AO2＝ODOP

（3根據相似三角形的性質得到BE＝，求得QE＝，由△QOE∽△PAD，可得，解決問題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵BP＝CQ，

∴AP＝BQ，

在△DAP與△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P＝∠Q，

∵∠Q+∠QAB＝90°，

∴∠P+∠QAB＝90°，

∴∠AOP＝90°，

∴AQ⊥DP；

（2）證明：∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，

∴∠DAO＝∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2＝ODOP．

（3）解：∵BP＝1，AB＝3，

∴AP＝4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE＝，∴QE＝，

∵△QOE∽△PAD，

∴=

∴QO＝．