Question

【題目】已知：CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB．E，F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

(1)若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F在射線CD上．

①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE CF；

②如圖2，若0°＜∠BCA<180°，請添加一個關于∠α與∠BCA關系的條件 ，使①中的結論仍然成立，并說明理由；

(2)如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請提出關于EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想：

Answer 1

【答案】（1）①=；②∠BCA＝180°－∠α，詳見解析；（2）EF＝BE＋AF

【解析】

（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結論；

②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結論；

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結論．

（1）①∵∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=∠α=90°

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠FCA+∠FAC=90°，

∴∠BCE=∠FAC，（同角的余角相等）

∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，

∴Rt△BCE≌Rt△CAF（AAS），

∴BE=CF；

故答案為：“=”；

②∠α與∠BCA關系：∠BCA=180°-∠α，

當∠BCA=180°-∠α時，①中結論仍然成立；

理由是：如圖2，

∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α+∠ACB=180°，即∠BEC+∠BCE+∠ACF=180°,

而∠CBE+∠BEC+∠BCE=180°，

∴∠CBE=∠ACF，

在△BCE和△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE=CF；

故答案為：∠BCA=180°-∠α；

（2）EF、BE、AF的數量關系：EF=BE+AF，

理由是：如圖3

∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC=∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴AF=CE，BE=CF，

∵EF=CE+CF，

∴EF=BE+AF．