Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(5,0)、B(-1,0)兩點，過點A作直線AC⊥x軸，交直線y=2x于點C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點A關于直線y=2x的對稱點A′的坐標，判定點A′是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點P是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段CA′于點M，是否存在這樣的點P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）．（2）點A/的坐標為（﹣3,4）．點A/在該拋物線上．（3）點P運動到時，四邊形PACM是平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）首先求出對稱點A′的坐標，然后代入拋物線解析式，即可判定點A′是否在拋物線上．本問關鍵在于求出A′的坐標．如答圖所示，作輔助線，構造一對相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似關系、對稱性質、勾股定理，求出對稱點A′的坐標；

（3）本問為存在型問題．解題要點是利用平行四邊形的定義，列出代數關系式求解．如答圖所示，平行四邊形的對邊平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知數的代數式表示出PM的長度，然后列方程求解．

試題解析：（1）∵與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點，

∴，

解得

∴拋物線的解析式為．

（2） 過點作⊥x軸于E，AA/與OC交于點D，

∵點C在直線y=2x上，

∴C（5，10）

∵點A和關于直線y=2x對稱，∴OC⊥，=AD．

∵OA=5，AC=10,∴．

∵,

∴．

∴．

在和中，

∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，

∴∠=∠ACD．

又∵∠=∠OAC=90°，

∴∽．

∴即．

∴=4，AE=8．

∴OE=AE－OA=3．

∴點A/的坐標為（﹣3,4）．

當x=﹣3時， ．

所以，點A/在該拋物線上．

（3）存在．

理由：設直線的解析式為y=kx+b,

則，

解得

∴直線的解析式為．

設點P的坐標為，則點M為．

∵PM∥AC，

∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC．又點M在點P的上方，

∴．

解得（不合題意,舍去）當x=2時，．

∴當點P運動到時，四邊形PACM是平行四邊形．