Question

【題目】已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的長度．

Answer 1

【答案】AB＝3．

【解析】

作DE⊥AC，BF⊥AC，根據弦、弧、圓周角、圓心角的關系，求得，進而得到∠DAC＝∠CAB＝60°，在Rt△ADE中，根據60°銳角三角函數值，可求得DE＝2，AE＝2，再由Rt△DEC中，根據勾股定理求出DC的長，在△BFC和△ABF中，利用60°角的銳角三角函數值及勾股定理求出AF的長，然后根據求出的兩個結果，由AB＝2AF，分類討論求出AB的長即可.

作DE⊥AC，BF⊥AC，

∵BC＝CD，

∴，

∴∠CAB＝∠DAC，

∵∠DAB＝120°，

∴∠DAC＝∠CAB＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEA＝∠DEC＝90°，

∴sin60°＝，cos60°＝，

∴DE＝2，AE＝2，

∵AC＝7，

∴CE＝5，

∴DC＝，

∴BC＝，

∵BF⊥AC，

∴∠BFA＝∠BFC＝90°，

∴tan60°＝，BF2+CF2＝BC2，

∴BF＝AF，

∴，

∴AF＝2或AF＝，

∵cos60°＝，

∴AB＝2AF，

當AF＝2時，AB＝2AF＝4，

∴AB＝AD，

∵DC＝BC，AC＝AC，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠ADC＝∠ABC，

∵ABCD是圓內接四邊形，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

但AC2＝49，，

AC2≠AD2+DC2，

∴AB＝4（不合題意，舍去），

當AF＝時，AB＝2AF＝3，

∴AB＝3．