Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上一點，若AE=2，則EM+CM的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

在AB上取AE′=AE，連接CE′，過點E′作E′F⊥BC由等邊三角形的性質可知：AB=AC=BC=6，∠B=60°，然后證明△AE′M≌△AEM，從而得到E′M=EM，由兩點之間線段最短可知：當E′、M、C在一條直線上時，EM+MC有最小值，在Rt△E′BF中，可求得BF=2，E′F=，最后在Rt△E′FC中，由勾股定理求E′C的長即可．

解：如圖所示，在AB上取AE′=AE，連接CE′，過點E′作E′F⊥BC．

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC=BC=6．

∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，

∴∠BAD=∠CAD．

在△AE′M和△AEM中，

，

∴△AE′M≌△AEM，

∴E′M=EM．

由兩點之間線段最短可知：當E′、M、C在一條直線上時，EM+MC有最小值．

∵AE=2， ∴BE′=AB-AE′=4

在Rt△E′BF中，∠B=60°，

∴ ，．

∴BF=BE′＝×4＝2，E′F= BE′=×4＝．

∴FC=BC-BF=4．

在Rt△E′FC中，

E′C．

∴EM+MC=．

故選：C．