Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ ACB＝90°，點D在BC邊上，且BD＝BC，過點B作CD的垂線交AC于點O，以O為圓心，OC為半徑畫圓．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若AB＝10，AD＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為

【解析】（1）連接OD，先證△DBO≌△CBO，再證∠ODB＝∠OCB＝90°即可；（2）在Rt△ABC中由勾股定理建立方程，從而求出⊙O的半徑．

（1）證明：連接OD

∵BD＝BC，BO⊥CD

∴∠DBO＝∠CBO

∵BD＝BC，∠DBO＝∠CBO，OB＝OB

∴△DBO≌△CBO

∴OD＝OC，∠ODB＝∠OCB＝90°

∴AB是⊙O的切線

（2）∵AB＝10，AD＝2，∴BC＝BD＝AB－AD＝8

在Rt△ABC中，

設⊙O的半徑為r，則OD＝OC＝r，AO＝AC－OC＝6－r

在Rt△ADO中，∵AD2＋OD2＝AO2

∴22＋r 2＝（6－r）2

解之得，即⊙O的半徑為

“點睛”本題考查了圓的切線的判定以及勾股定理的運用，解題關鍵是在直角三角形中利用勾股定理列出方程．