Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A，B與y軸交于C，過C作x軸的平行線交拋物線于點D，過點D作x軸的垂線交x軸于E，點D的坐標為（2，3）

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為第一象限直線DE右側拋物線上一點，連接AP交y軸于點F，連接PD、DF，設點P的橫坐標為t，△PFD的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，點P向下平移3個單位得到點Q，連接AQ、EQ，若∠AQE=45°，求點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意D（2，3），C（0，3），

∵CD∥x軸，

∴C、D關于對稱軸對稱，

∴對稱軸x=1，

∴﹣ =1，

∴b=2，c=3，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）解：如圖1中，連接PC，作PH⊥AB于H．設P（t，﹣t2+2t+3）．

對于拋物線y=﹣x2+2x+3，令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

∵OF∥PB，

∴ = ，

∴FO=（﹣t2+2t+3） =3﹣t，

∴CF=3﹣（3﹣t）=t，

S=S△PCF+S△PCD﹣S△CDF= tt+ ×2×[3﹣（﹣t2+2t+3）]﹣ t2= t2﹣3t（2＜t＜3）．

（3）解：如圖構造等腰直角三角形△AKE，使得AK=EK，∠AKE=90°，則易知K（ ，﹣ ），以K為圓心，AK為半徑畫⊙K．

∵∠AQE=45°= ∠AKE，

∴點Q在⊙K上，設P（m，﹣m2+2m+3），則Q（m，﹣m2+2m），

∵AK=QK，

∴（1+ ）2+（ ）2=（m﹣ ）2+（﹣m2+2m+ ）2，

∴ + =m2﹣m+ +（﹣m2+2m）2+3（﹣m2+2m）+ ，

∴m2﹣m﹣2+m2（m﹣2）2﹣3m（m﹣2）=0，

∴（m﹣2）（m+1）+m2（m﹣2）2﹣3m（m﹣2）=0，

∴（m﹣2）[（m+1）+m3﹣2m2﹣3m]=0，

∴（m﹣2）[（m+1）+m（m+1）（m﹣3）]=0，

∴（m﹣2）（m+1）（m2﹣3m+1）=0，

∴m=2或﹣1或 ，

∵點P為第一象限直線DE右側拋物線上一點，

∴m= ，

∴滿足條件的點P的橫坐標為 ．

【解析】（1）根據題意易求得點C的坐標，再用待定系數法求出拋物線的解析式。或根據點C、D是兩對稱點，求出對稱軸，即可求出拋物線的解析式。
（2）觀察函數圖像，可知S△PFD=S△PCF+S△PCD﹣S△CDF，因此連接PC，作PH⊥AB于H．設P（t，﹣t2+2t+3），再用含t的代數式分別求出△PCF、△PCD、△CDF的面積，就可以求出S與t的函數關系式。
（3）抓住已知∠AQE=45°，添加輔助線，構造圓周角為45°的圓心角，構造等腰直角三角形△AKE，使得AK=EK，∠AKE=90°，以K為圓心，AK為半徑畫⊙K，易得到K點坐標，得出點Q在圓上，設出點P、點Q的坐標，根據AK=QK。列出方程，求解即可求出點P的橫坐標。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．