Question

【題目】已知，如圖，在四邊形ABCD中， ，延長BC至點E，連接AE交CD于點F，使

求證： ；

求證： ；

若BF平分，請寫出與的數量關系______不需證明

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2∠AFB+∠CAF=180°

【解析】試題分析：（1）根據∠BAC=∠DAE，運用等式性質即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，進而得到∠BAF=∠CAD；

（2）根據∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根據∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，進而判定AD∥BE；

（3）根據AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根據BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根據∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根據AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，進而得到2∠AFB+∠CAF=180°．

試題解析：(1)∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，

∴∠BAF=∠CAD；

(2)∵∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，

∴∠B=∠D，

∵AB∥CD，

∴∠B+∠BCD=180°，

∴∠D+∠BCD=180°，

∴AD∥BE；

(3)如圖2,∵AD∥BE,

∴∠E=∠1=∠2，

∵BF平分∠ABC，

∴∠3=∠4，

∵∠AFB是△BEF的外角，

∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，

∴∠AFB=3+∠2，

又∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°，

即2∠AFB+∠CAF=180°.

故答案為：2∠AFB+∠CAF=180°.