Question

（2011•遼陽）如圖，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以點O為坐標原點，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，AO=3，∠AOB=30°，將Rt△ABO沿OB翻折后，點A落在第一象限內的點D處．
（1）求D點坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過B、D兩點，求此拋物線的表達式；
（3）若拋物線的頂點為E，它的對稱軸與OB交于點F，點P為射線OB上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點M．是否存在點P，使得以E、F、M、P為頂點的四邊形為等腰梯形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．

Answer 1

分析：（1）過點D作DC⊥x軸于點E，如圖（1），由軸對稱得出OD=3，∠DOE=30°，故可以求出DE的值，由勾股定理就可以求出OE的值，從而可以求出D的坐標．
（2）通過解直角三角形AOB求出AB的值，求出點B的坐標，再將B、D的坐標代入解析式就可以求出拋物線的解析式．
（3）利用（2）的解析式，求出E點的坐標，利用待定系數法求出直線OB的解析式，從而求出F的坐標，從而求出EF，設P（x，y），作EH⊥PM于點H，FG⊥PM于點G，如圖（2），由題意可得PH=GM從而求出點P的坐標．

解答：解：（1）過點D作DE⊥x軸于點E，如圖（1）．
由翻折可知：DO=AO=3，
∠AOB=∠BOD=30°，
∴∠DOE=30°．
∴DE=

3

2

在Rt△COD中，由勾股定理，得
OE=

3 3

2

∴D（

3 3

2

，

3

2

）

（2）在Rt△AOB中，
AB=AO•tan30°=3×

3

3

=

3

，
∴B（

3

，3）．
∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過B（

3

，3），D（

3 3

2

，

3

2

）兩點，
∴

3a+ 3 b+3=3 27 4 a+ 3 3 2 b+3= 3 2

解得

a=- 2 3 b= 2 3 3

∴此拋物線表達式為y=-

2

3

x²+

2 3

3

x+3．

（3）存在符合條件的點P，設P（x，y），
作EH⊥PM于點H，FG⊥PM于點G，如圖（2）．
∵E為拋物線y=-

2

3

x²+

2 3

3

x+3的頂點，
∴E（

3

2

，

7

2

）．
設OB所在直線的表達式為y=kx，
將點B（

3

，3）代入，得k=

3

，
∴y=

3

x．
∵P在射線OB上，
∴P（x，

3

x），F（

3

2

，

3

2

）．
則H（x，

7

2

）G（x，

3

2

）．
∵M在拋物線上，M（x，-

2

3

x²+

2 3

3

x+3）．
要使四邊形EFMP為等腰梯形，只需PH=GM．

3

x-

7

2

=

3

2

-（-

2

3

x²+

2 3

3

x+3），
即-

2

3

x²+

2 3

3

x+3+

3

x=5．
解得x₁=2

3

，x₂=

3

2

．
∴P₁點坐標為（2

3

，6），P₂點坐標為（

3

2

，

3

2

）與F重合，應舍去．
∴P點坐標為（2

3

，6）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了點的坐標，待定系數法求函數的解析式，等腰梯形的判定及性質及解直角三角形的運用．