Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線和拋物線W交于A，B兩點，其中點A是拋物線W的頂點．當點A在直線上運動時，拋物線W隨點A作平移運動．在拋物線平移的過程中，線段AB的長度保持不變．

應用上面的結論，解決下列問題：

在平面直角坐標系xOy中，已知直線．點A是直線上的一個動點，且點A的橫坐標為．以A為頂點的拋物線與直線的另一個交點為點B．

（1）當時，求拋物線的解析式和AB的長；

（2）當點B到直線OA的距離達到最大時，直接寫出此時點A的坐標；

（3）過點A作垂直于軸的直線交直線于點C．以C為頂點的拋物線與直線的另一個交點為點D．

①當AC⊥BD時，求的值；

②若以A，B，C，D為頂點構成的圖形是凸四邊形（各個內角度數都小于180°）時，直接寫出滿足條件的的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；②的取值范圍是或．

【解析】

（1）根據t=0時，A的坐標可以求得是（0，-2），利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，則B的坐標可以求得；
（2）△OAB的面積一定，當OA最小時，B到OA的距離即△OAB中OA邊上的高最大，此時OA⊥AB，據此即可求解；
（3）①方法一：設AC，BD交于點E，直線l1：y=x-2，與x軸、y軸交于點P和Q（如圖1）．由點D在拋物線C2：y=[x-（2t-4）]2+（t-2）上，可得 =[（t-1）-（2t-4）]2+（t-2），解方程即可得到t的值；
方法二：設直線l1：y=x-2與x軸交于點P，過點A作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，交于點N．（如圖2），根據BD⊥AC，可得t-1=2t-，解方程即可得到t的值；
②設直線l1與l2交于點M．隨著點A從左向右運動，從點D與點M重合，到點B與點M重合的過程中，可得滿足條件的t的取值范圍．

解：（1）∵點A在直線l1：y=x-2上，且點A的橫坐標為0，
∴點A的坐標為（0，-2），
∴拋物線C1的解析式為y=-x2-2，
∵點B在直線l1：y=x-2上，
設點B的坐標為（x，x-2）．
∵點B在拋物線C1：y=-x2-2上，
∴x-2=-x2-2，
解得x=0或x=-1．
∵點A與點B不重合，
∴點B的坐標為（-1，-3），
∴由勾股定理得AB=．
（2）當OA⊥AB時，點B到直線OA的距離達到最大，則OA的解析式是y=-x，則
，解得： ，
則點A的坐標為（1，-1）．

（3）①方法一：設，交于點，直線，與軸、軸交于點和（如圖1）．

則點和點的坐標分別為，．

∴．

∵．

∵軸，

∴軸．

∴．

∵，，

∴．

∵點在直線上，且點的橫坐標為，

∴點的坐標為．

∴點的坐標為．

∵軸，

∴點的縱坐標為．

∵點在直線上，

∴點的坐標為．

∴拋物線的解析式為．

∵，

∴點的橫坐標為，

∵點在直線上，

∴點的坐標為．

∵點在拋物線上，

∴．

解得或．

∵當時，點與點重合，

∴

方法二：設直線l1：y=x-2與x軸交于點P，過點A作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，交于點N．（如圖2）

則∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB．
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN．
∵在拋物線C1隨頂點A平移的過程中，
AB的長度不變，∠ABN的大小不變，
∴BN和AN的長度也不變，即點A與點B的橫坐標的差以及縱坐標的差都保持不變．
同理，點C與點D的橫坐標的差以及縱坐標的差也保持不變．
由（1）知當點A的坐標為（0，-2）時，點B的坐標為（-1，-3），
∴當點A的坐標為（t，t-2）時，點B的坐標為（t-1，t-3）．
∵AC∥x軸，
∴點C的縱坐標為t-2．
∵點C在直線l2：y＝x上，
∴點C的坐標為（2t-4，t-2）．
令t=2，則點C的坐標為（0，0）．
∴拋物線C2的解析式為y=x2．
∵點D在直線l2：y＝x上，
∴設點D的坐標為(x，)．
∵點D在拋物線C2：y=x2上，
∴＝x2．
解得x＝或x=0．
∵點C與點D不重合，
∴點D的坐標為(，)．
∴當點C的坐標為（0，0）時，點D的坐標為(，)．
∴當點C的坐標為（2t-4，t-2）時，點D的坐標為(2t，t)．
∵BD⊥AC，
∴t1＝2t．
∴t＝．
②t的取值范圍是t＜或t＞5．
設直線l1與l2交于點M．隨著點A從左向右運動，從點D與點M重合，到點B與點M重合的過程中，以A，B，C，D為頂點構成的圖形不是凸四邊形．